Türev fonksiyonu:
$a$ bir gerçel sayı olmak üzere $$f^\prime (a)=3-2\cos a$$ eşitliği sağlanır.
Türev değerlerinin pozitif olması:
$a$ bir gerçel sayı olmak üzere $\cos a\le 1$ eşitsizliği sağlandığından \begin{align*}
f^\prime (a)\ &= \ 3-2\cos a\\[17pt] &\ge\ 3-2\cdot 1\\[17pt] & \ge \ 1\\[17pt] & >\ 0\end{align*} eşitsizliği sağlanır.
f fonksiyonun bir terse sahip olması:
$f^\prime$ fonksiyonu gerçel sayılar üzerinde pozitif değerler aldığından $f$ artan bir fonksiyondur. Artan fonksiyonlar birebirdir. Birebir fonksiyonlar ters fonksiyona sahiptir.
f(c)=0 eşitliğini sağlayan değer:
$f$ birebir olduğundan ve $$f(0)=3\cdot 0-2\sin 0=0$$eşitliği sağlandığından $f(c)=0$ eşitliğini sağlayan biricik $c$ değeri $0$ olur.
Not: Bu gibi sorularda sizin kolaylıkla tahmin edebileceğiniz değerler üzerinden bir soru sorulur. Diğer türlü bir polinomun kökünü ya da daha karmaşık bir ifadenin çözümünü bulmak her zaman basit bir yönteme sahip olmayabilir ve bazı durumlarda direkt çözüm yolu bilinmemesinden dolayı nümerik çözümler aranır ve yaklaşık bir değere ulaşılır. (Tabii bu uğraşan kişi için işlevselse.)
Burada 'matematiksel değil' itirazı olabilir ama basit bir tahmin sorusunu çözebilmek edinilmesi gereken kabiliyetlerdendir.
f fonksiyonunun tersinin türevi:
$f^\prime$ fonksiyonu gerçel sayılar üzerinde pozitif değerler aldığından $f^{-1}$ fonksiyonu türevlenebilir ve türev değerleri, tanım kümesindeki her $a$ değeri için, $$f^{-1}(a)=\frac1{f^\prime\left(f^{-1}(a)\right)}$$ eşitliğini sağlar.
Ters fonksiyonun 0 noktasındaki türevi:
Bu bilgilerle \begin{align*}\left(f^{-1}\right)^\prime(0)\ &= \ \frac1{f^\prime\left(f^{-1}(0)\right)}\\[17pt] &=\ \frac1{f^\prime\left(0\right)}\\[17pt] &=\ \frac1{3-2\cos 0}\\[17pt] &=\ 1\end{align*} eşitliğini elde ederiz.