Bu başlık altında logaritmik türevleme ile bir cevap vereceğiz.
Foksiyonun logaritması:
$f$ fonksiyonunun $(-1,\infty)$ üzerindeki görüntüsü pozitif değerler aldığından $\ln f$ fonksiyonu ile ilgilenebiliriz. Bu fonksiyonun kuralı \begin{align*}\ln f(x) \ & = \ \ln \left(\frac{(x+1)\cdot (x+2)^2\cdot (x+3)^3}{(x+4)^4\cdot (x+5)^5\cdot (x+6)^6}\cdot e^x\right)\\[17pt] &= \ \ln(x+1)+2\ln(x+2)+3\ln(x+3)\\[5pt] & \phantom{=} \ \ \ -4\ln(x+4)-5\ln(x+5)-6\ln(x+6)\\[5pt] & \phantom{=} \ \ \ +x\end{align*} olur.
Logaritmik türev varsa türev de vardır:
Gerçel sayılar üzerinde $\exp$ ve pozitif gerçel sayılar üzerinde $\ln f$ fonksiyonu türevlenebildiğinden pozitif gerçel sayılar üzerinde, bileşkeleri olan, $$f=\exp(\ln f)$$ fonksiyonu, zincir kuralı ile, türevlenebilir.
Logaritmalı eşitlikte türev:
Eşitliğin iki tarafında türev alırsak, $x>-1$ için, $$\frac{f^\prime(x)}{f(x)}=\dfrac{1}{x+1}+2\cdot \dfrac{1}{x+2}+3\cdot\dfrac{1}{x+3}-4\cdot \dfrac{1}{x+4}-5\cdot \dfrac{1}{x+5}-6\cdot \dfrac{1}{x+6}+1$$ eşitliğini elde ederiz.
f fonksiyonunun türevi:
Elde ettiğimiz eşitliği $f(x)$ ile çarparsak, $x>-1$ için, \begin{align*}f^\prime(x)&= \ \left(\dfrac{1}{x+1}+ \dfrac{2}{x+2}+\dfrac{3}{x+3}- \dfrac{4}{x+4}- \dfrac{5}{x+5}- \dfrac{6}{x+6}+1\right)\\[5pt]& \qquad \cdot \frac{(x+1)\cdot (x+2)^2\cdot (x+3)^3}{(x+4)^4\cdot (x+5)^5\cdot (x+6)^6}\cdot e^x \end{align*} eşitliği sağlanır.
f fonksiyonunun sıfır noktasındaki türevi:
Türevi $0$ noktasında hesaplarsak \begin{align*}f^\prime(0) \ &= \ \left(\dfrac{1}{0+1}+ \dfrac{2}{0+2}+\dfrac{3}{0+3}- \dfrac{4}{0+4}- \dfrac{5}{0+5}- \dfrac{6}{0+6}+1\right)\\[5pt]& \qquad \cdot \frac{(0+1)\cdot (0+2)^2\cdot (0+3)^3}{(0+4)^4\cdot (0+5)^5\cdot (0+6)^6}\cdot e^0\\[17pt] &= \ \dfrac{2^2\cdot 3^3}{4^4\cdot 5^5\cdot 6^6}\end{align*} eşitliği sağlanır.