$e^x+e^y=e^{x+y}$ ise $y^\prime$ türevi

Question

$y$, $x$ değişkenine bağlı türevlenebilir bir fonksiyon ve  $$e^x+e^y=e^{x+y}$$ ise $y^\prime$ türevini bulunuz.

Answer 1

Kapalı fonksiyonun türevi:
Verilen eşitliğin türevini alırsak $$e^x+e^y\cdot y^\prime=e^{x+y}\cdot (1+y^\prime)$$ eşitliği sağlanır.

Düzenleme:
Biraz düzenleme yaparsak, tanımlı olmayı bozmadan, \begin{align*}e^x+e^y\cdot y^\prime&=e^{x+y}\cdot (1+y^\prime)\\[17pt] &\iff \quad e^x+e^y\cdot y^\prime=e^{x+y}+e^{x+y}\cdot y^\prime\\[17pt]&\iff \quad e^y\cdot y^\prime-e^{x+y}\cdot y^\prime=e^{x+y}-e^x\\[17pt]&\iff \quad  y^\prime \cdot \left(e^y-e^{x+y}\right)=e^{x+y}-e^x\\[17pt]&\iff \quad y^\prime=\frac{e^{x+y}-e^x}{e^y-e^{x+y}}\end{align*}  eşitliği sağlanır.

---

Biraz daha düzenleme:
Ayrıca fonksiyon/eğri üzerinde $e^{x+y}=e^x+e^y$ eşitliği sağlandığından $$y^\prime=\frac{e^{x+y}-e^x}{e^y-e^{x+y}}=\frac{(e^x+e^y)-e^x}{e^y-(e^x+e^y)}=\dfrac{e^y}{-e^x}=-e^{y-x}$$ eşitliği sağlanır.