Teğet denklemleri:
$y$ fonksiyonu $a$ noktasında türevleniyorsa $(a,y(a))$ noktasındaki eğimi $y\prime(a)$ olur ve teğet denklemi $$y-y(a)=y^\prime(a)(x-a) \ \ \ \text{ ya da } \ \ \ y=y(a)+y^\prime(a)(x-a)$$ olarak ya da başka bir düzenlenmiş hali olarak yazılabilir.
İhtiyacımız olan bilgiler:
Verilen $y$ fonksiyonunun verilen $a$ noktasındaki teğet denklemini yazabilmek için $$y(a) \ \ \ \text{ ve } \ \ \ y^\prime(a)$$ değerlerini hesaplamamız gerekli.
Bu soru için ihtiyacımız olan hesaplamalar verilen $y$ fonksiyonu için $$y(2) \ \ \ \text{ ve } \ \ \ y^\prime(2)$$ değerleridir.
Yöntem:
$f$ halihazırda verildiğinden izleyeceğimiz yöntem, sırasıyla,
(0) $y(2)$ değeri halihazırda verilmiş
(1) $y^\prime$ fonksiyonunu bulma
(2) $y^\prime(2)$ değerini hesaplama
(3) Teğet denklemini yazma
olacaktır.
Kapalı fonksiyonun türevi:
Verilen eşitliğin türevini alırsak $$ 4y^\prime=3y^2y^\prime+(1\cdot y^2+x\cdot 2yy^\prime)$$ eşitliği sağlanır.
Düzenleme:
Biraz düzenleme yaparsak, tanımlı olmayı bozmadan, \begin{align*}4y^\prime=3y^2y^\prime+1\cdot y^2+x\cdot 2yy^\prime\ &\iff \quad -y^2=(3y^2-2xy-4)y^\prime\\[17pt]&\iff \quad y^\prime=-\frac{y^2}{3y^2-2xy-4}\end{align*} eşitliği sağlanır.
Teğetin eğimini bulma:
Bu eşitliği kullanırsak $y$ fonksiyonunun $(2,1)$ noktasındaki teğet dogrusunun eğimi $$y^\prime (1)=-\frac{1^3}{3\cdot 1^2-2\cdot 1 \cdot 2-4}=1$$ değerine eşit olur.
Birkaç teğet denklemi:
$y$ fonksiyonunun $(2,1)$ noktasındaki teğet dogrusunun eğimi $1$ olduğundan ve $(2,1)$ noktasından geçtiğinden, bir denklemi $$y-1=1\cdot (x-2)\ \ \ \text{ ya da } \ \ \ y=x-1$$ olur.