Belirsizlik:
Sürekli fonksiyon olan pay ve paydanın limitleri, sırasıyla, $$e^0-1=1-1=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ \sin 0=0$$ olduğundan elimizde $\left[\frac00\right]$ tarzı bir belirsizlik olur.
l'Hôpital uygulama:
Bir kere l'Hôpital kuralını kullanırsak\begin{align*}\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-1 }{\sin x} \ &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{e^{x}}{\cos x}\\[17pt]&= \ \frac{e^{0}}{\cos 0}\\[17pt]&= \ 1\end{align*}eşitliğini elde ederiz.
Kalan koşulu kontrol etme:
Her ne kadar verilen örneklerde bu ön koşul sağlansa da paydanın türevinin $$(\sin x)^\prime=\cos x$$ $0$'ın bir civarında hiç sıfır değeri vermediğinden emin olmamız gerekli.
Bu da, bir civar örneği olarak $\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)-\{0\}$ için, sağlanıyor.