Belirsizlik:
Sürekli fonksiyon olan pay ve paydanın limitleri, sırasıyla, $$e^0-e^{4\cdot 0}=1-1=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ e^{2\cdot 0}-e^{3\cdot 0}=1-1=0$$ olduğundan elimizde $\left[\frac00\right]$ tarzı bir belirsizlik olur.
l'Hôpital uygulama:
Bir kere l'Hôpital kuralını kullanırsak\begin{align*}\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-e^{4x} }{e^{2x}-e^{3x}} \ &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{e^{x}-4e^{4x}}{2e^{2x}-3e^{3x}}\\[17pt]&= \ \frac{e^{0}-4e^{4\cdot 0}}{2e^{2\cdot 0}-3e^{3\cdot 0}}\\[17pt]&= \ \frac{1-4}{2-3} \\[17pt]&= \ 3\end{align*}eşitliğini elde ederiz.
Kalan koşulu kontrol etme:
Her ne kadar verilen örneklerde bu ön koşul sağlansa da paydanın türevinin $$(e^{2x}-e^{3x})^\prime=2e^{2x}-3e^{3x}$$ $0$'ın bir civarında hiç sıfır değeri vermediğinden emin olmamız gerekli.
Bu da, bir civar örneği olarak $\left(-1,\ln\frac23\right)-\{0\}$ için, sağlanıyor.