Belirsizlik:
Sürekli fonksiyon olan pay ve paydanın limitleri, sırasıyla, $$\cos0-\ln(e+0)=1-1=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ \sin 0=0$$ olduğundan elimizde $\left[\frac00\right]$ tarzı bir belirsizliği olur.
l'Hôpital uygulama:
Dört kere l'Hôpital uygulayarak sonuca ulaşabiliriz. Bunun başarılabilir ama karmaşık olduğunu gözlemleyebilirsiniz. Bunu yerine...
Bir kere l'Hôpital uygulayıp gelen limiti '$0$ noktasında $x^{-1}\sin x$ limitinin $1$ olduğunu' kullanabilecek şekilde düzenleyelerek limit değerini bulalım.
Ayrıca $\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha$ bilgisini sadelik adına kullanabiliriz. Kullanmasak da işlemler benzer olur.
Bu yol ile \begin{align*}\lim\limits_{x\to 0} \frac{\cos(\pi+x^2)+1}{x^4}\ &= \ \lim\limits_{x\to 0} \frac{-\cos x^2+1}{x^4} \\[15pt] &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{2x\cdot \sin x^2}{3x^3}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{x\to 0}\left(\frac23\cdot \frac{\sin x^2}{ x^2}\right)\\[15pt] &= \ \frac23\cdot 1\\[15pt] &= \ \frac23\end{align*} eşitliğini elde ederiz.
Kalan koşulu kontrol etme:
Her ne kadar verilen örneklerde bu ön koşul sağlansa da paydanın türevi $$\dfrac d{dx} x^4=4x^3$$ sıfırın bir civarında hiç sıfır değeri vermediğinden emin olmamız gerekli.
Bu da, bir civar örneği olarak $\left(-1,1\right)-\{0\}$ için, sağlanıyor.
Kullanılan bir bilgi:
$u$ fonksiyonu $a$'nın bir civarında sıfır fonksiyon olmasın ve $\lim\limits_{x\to a} u(x)=0$ sağlansın. Bu durumda $$\lim\limits_{x\to a} \dfrac{\sin u(x)}{u(x)}=1$$eşitliği sağlanır.
Bu bilgiyi $a=0$ ile $u(x)=x^2$ kurallı $u: \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonu için kullandık.