Belirsizlik:
Sürekli fonksiyon olan pay ve paydanın limitleri, sırasıyla, $$\cos0-\ln(e+0)=1-1=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ \sin 0=0$$ olduğundan elimizde $\left[\frac00\right]$ tarzı bir belirsizliği olur.
l'Hôpital uygulama:
Bir kere l'Hôpital uygulayarak sonuca ulaşabiliriz. Bu yol ile \begin{align*}\lim\limits_{x\to 0} f(x)\ &= \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{\cos x-\ln(e+x)}{\sin x}\\[15pt] &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{-\sin x-\dfrac1{e+x}}{\cos x}\\[15pt] &= \ \frac{-\sin 0-\dfrac1{e+0}}{\cos 0} \\[15pt] &= \ -\frac1e\end{align*} eşitliğini elde ederiz.
Kalan koşulu kontrol etme:
Her ne kadar verilen örneklerde bu ön koşul sağlansa da paydanın türevi $$\sin^\prime x=\cos x$$ sıfırın bir civarında hiç sıfır değeri vermediğinden emin olmamız gerekli.
Bu da, bir civar örneği olarak $\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)-\{0\}$ için, sağlanıyor.