Belirsizlik:
Sürekli fonksiyon olan pay ve paydanın limitleri, sırasıyla, $$e^{0}-0-1=1-0-1=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ \cos(2\cdot 0)-1=1-1=0$$ olduğundan elimizde $\left[\frac00\right]$ tarzı bir belirsizlik olur.
l'Hôpital uygulama:
İki kere l'Hôpital kuralını kullanırsak\begin{align*}\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-x-1 }{\cos 2x-1 } \ &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-1 }{-2\sin 2x }\\[17pt]&\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x}{-4\cos 2x} \\[17pt]&= \ \frac{e^0}{-4\cdot \cos (2\cdot 0)}\\[17pt]&= -\frac14\end{align*}eşitliğini elde ederiz.
Kalan koşulu kontrol etme:
Her ne kadar verilen örneklerde bu ön koşul sağlansa da paydaların türevinin $$-2\sin(2x)\ \ \ \text{ ve } \ \ \ -4\cos(2x)$$ $0$'ın bir civarında hiç sıfır değeri vermediğinden emin olmamız gerekli.
Bu da, bir civar örneği olarak $\left(-\frac\pi4,\frac\pi4\right)-\{0\}$ için, sağlanıyor.