Belirsizlik:
Sürekli fonksiyon olan pay ve paydanın limitleri, sırasıyla, $$2\sin 0-\sin(2\cdot 0)=2\cdot 0-0=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ \sin 0-0\cdot \cos 0=0-0\cdot 1=0$$ olduğundan elimizde $\left[\frac00\right]$ tarzı bir belirsizlik olur.
l'Hôpital uygulama:
Üç kere l'Hôpital kuralını kullanırsak\begin{align*}\lim\limits_{x\to 0}\frac{2\sin x -\sin 2x}{\sin x-x\cos x } \ &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{2\cos x -2\cos 2x}{\cos x-(\cos x-x\sin x )}\\[17pt]&= \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{2\cos x -2\cos 2x}{x\sin x}\\[17pt]&\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{-2\sin x+4\sin 2x}{x+x\cos x}\\[17pt]&\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{-2\cos x+8\cos 2x}{1+(\cos x-x\sin x)} \\[17pt]&= \ \frac{-2\cos 0+8\cos(2\cdot 0)}{1+(\cos 0-0\cdot \sin 0)}\\[17pt]&= 3\end{align*}eşitliğini elde ederiz.
Kalan koşulu kontrol etme:
Her ne kadar verilen örneklerde bu ön koşul sağlansa da paydaların türevinin $$x\cdot\sin x, \ \ \ x\cdot (1+\cos x)\ \ \ \text{ ve } \ \ \ 1+\cos x-x\cdot \sin x$$ $0$'ın bir civarında hiç sıfır değeri vermediğinden emin olmamız gerekli.
İlk ikisi, bir civar örneği olarak $\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)-\{0\}$ için, sağlanıyor.
Üçüncüsünün $0$ noktasında limiti pozitif olan $1$ değerine eşit. Bu nedenle $0$'ın bir civarında, süreklilik gereği, pozitif değerler alır. Bu civar üzerinde istenen sağlanır.