Belirsizlik:
Sürekli fonksiyon olan pay ve paydanın limitleri, sırasıyla, $$\tan(2\cdot 0)-2\sin 0=0-2\cdot 0=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 0\cdot (1-\cos 0)=0$$ olduğundan elimizde $\left[\frac00\right]$ tarzı bir belirsizlik olur.
l'Hôpital uygulama:
Üç kere l'Hôpital kuralını kullanırsak\begin{align*}& \ \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\tan 2x -2\sin x}{x(1-\cos x)} \\[17pt] &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{2\sec^2 2x -2\cos x }{(1-\cos x)+x\cdot \sin x}\\[17pt]&\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{2\cdot (2\sec 2x)\cdot (\sec 2x\tan 2x)\cdot 2+2\sin x}{\sin x+(\sin x+x\cos x)}\\[17pt] &=\ \lim\limits_{x\to 0}\frac{8\sec^2 2x\cdot \tan 2x+2\sin x}{2\sin x+x\cdot \cos x}\\[17pt]&\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{8\left((2\sec2x\cdot\sec2x\tan2x)\cdot\tan 2x+\sec^22x\cdot (2\sec^22x)\right)+2\cos x}{2\cos x+(\cos x+(x\cdot (-\sin x)))}\\[17pt]&= \ \dfrac{8\left((2\sec(2\cdot 0)\cdot\sec(2\cdot 0)\tan(2\cdot 0))\cdot\tan (2\cdot 0)+\sec^2(2\cdot 0)\cdot (2\sec^2(2\cdot 0))\right)+2\cos 0}{2\cos 0+(\cos 0+(0\cdot (-\sin 0)))} \\[17pt]&= \ \dfrac{8\cdot (0+2)+2}{2+1} \\[17pt]&= \ 6\end{align*}eşitliğini elde ederiz.
Kalan koşulu kontrol etme:
Her ne kadar verilen örneklerde bu ön koşul sağlansa da paydalarının türevi sıfırın bir civarında hiç sıfır değeri vermediğinden emin olmamız gerekli.
$\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)-\{0\}$ için $$(1-\cos x)+x\cdot \sin x$$ pozitif değerler alır.
Türevi sürekli olan ve $0$ noktasında $3$ olan $$2\sin x+x\cdot \cos x$$ bu noktanın bir civarında artan olur ve sadece $0$ noktasında sıfır değerini alır.