Belirsizlik:
Sürekli fonksiyon olan pay ve paydanın limitleri, sırasıyla, $$1-\cos(3\cdot 0)=1-1=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 1-\cos(4\cdot 0)=1-1=0$$ olduğundan elimizde $\left[\frac00\right]$ tarzı bir belirsizlik olur.
l'Hôpital uygulama:
İki kere l'Hôpital kuralını kullanırsak\begin{align*}\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-\cos 3x}{1-\cos 4x } \ &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{3\sin3x}{4\sin 4x }\\[17pt]&\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{9\cos 3x}{16\cos 4x} \\[17pt]&= \ \frac{9\cdot \cos (3\cdot 0)}{16\cdot \cos (4\cdot 0)}\\[17pt]&= \frac9{16}\end{align*}eşitliğini elde ederiz.
Kalan koşulu kontrol etme:
Her ne kadar verilen örneklerde bu ön koşul sağlansa da paydaların türevinin $$4\sin(4x)\ \ \ \text{ ve } \ \ \ 16\cos(4x)$$ $0$'ın bir civarında hiç sıfır değeri vermediğinden emin olmamız gerekli.
Bu da, bir civar örneği olarak $\left(-\frac\pi8,\frac\pi8\right)-\{0\}$ için, sağlanıyor.