Belirsizlik:
Sürekli fonksiyon olan pay ve paydanın limitleri, sırasıyla, $$e^0-e^{-0}-2\cdot 0=1-1-0=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 0\cdot \sin 0=0$$ olduğundan elimizde $\left[\frac00\right]$ tarzı bir belirsizlik olur.
l'Hôpital uygulama:
İki kere l'Hôpital kuralını kullanırsak\begin{align*}\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-e^{-x}-2x}{x\sin x } \ &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x+e^{-x}-2}{\sin x+x\cos x }\\[17pt]&\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-e^{-x}}{\cos x+(\cos x-x\sin x)} \\[17pt]&= \ \frac{e^0-e^{-0}}{\cos 0+(\cos 0-0\cdot \sin 0)}\\[17pt]&= 0\end{align*}eşitliğini elde ederiz.
Kalan koşulu kontrol etme:
Her ne kadar verilen örneklerde bu ön koşul sağlansa da paydaların türevinin $$\sin x+x\cos x \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 2\cos x-x\sin x$$ $0$'ın bir civarında hiç sıfır değeri vermediğinden emin olmamız gerekli.
İkincisinin limiti $2$ olduğundan $0$'ın bir civarı üzerinde pozitif değerler alır.
İlkinin türevi ikincisi olduğundan ve bu türev bu aralık üzerinde pozitif değerler aldığından, ilki bu aralık üzerinde artan ve dolayısıyla birebir olur. Bu aralık üzerinde ikinci bir sıfıra sahip olamaz.
Biraz trigonometri cebiri ile ($\cos 1^\circ>\sin 1^\circ$) bu civarı $\left(-\frac\pi{180},\frac\pi{180}\right)-\{0\}$ olarak seçebiliriz.