Belirsizlik:
Sürekli fonksiyon olan pay ve paydanın limitleri, sırasıyla, $$10^0-2^0=1-1 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ \tan 0=0$$ olduğundan elimizde $\left[\frac00\right]$ tarzı bir belirsizliği olur.
l'Hôpital uygulama:
Bir kere l'Hôpital uygulayarak sonuca ulaşabiliriz. Bu yol ile \begin{align*}\lim\limits_{x\to 0}\frac{10^x-2^x}{\tan x}\ &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln 10\cdot 10^x-\ln 2\cdot 2^x}{\sec^2x}\\[15pt] &= \ \frac{\ln 10\cdot 10^0 - \ln 2\cdot 2^0}{\sec^2 0} \\[15pt] &= \ \ln 10 -\ln 2\\[15pt] &= \ \ln(10/2)\\[15pt] &= \ \ln 5\end{align*} eşitliğini elde ederiz.
Kalan koşulu kontrol etme:
Her ne kadar verilen örneklerde bu ön koşul sağlansa da paydanın türevi $$\tan^\prime x=\sec^2 x$$ sıfırın bir civarında hiç sıfır değeri vermediğinden emin olmamız gerekli.
Bu da, bir civar örneği olarak $\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)-\{0\}$ için, sağlanıyor.