Belirsizlik:
Sürekli fonksiyon olan pay ve paydanın limitleri, sırasıyla, $$\arctan(1+\sin\left(-\frac\pi2\right))=\arctan (1+(-1))=\arctan 0=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ \cos\left(-\frac\pi2\right)=0$$ olduğundan elimizde $\left[\frac00\right]$ tarzı bir belirsizlik olur.
l'Hôpital uygulama:
Bir kere l'Hôpital kuralını kullanırsak\begin{align*}\lim\limits_{x\to -\frac\pi2}\dfrac{\arctan (1+\sin x)}{\cos x} \ &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to -\frac\pi2}\frac{\cos x\cdot \dfrac1{1+(1+\sin x)^2}}{-\sin x}\\[17pt]&= \ \frac{\cos \left(-\frac\pi2\right)\cdot \dfrac1{1+\left(1+\sin \left(-\frac\pi2\right)\right)^2}}{-\sin \left(-\frac\pi2\right)}\\[17pt]&= \ 0\end{align*}eşitliğini elde ederiz.
Kalan koşulu kontrol etme:
Her ne kadar verilen örneklerde bu ön koşul sağlansa da paydanın türevinin $$(\cos )^\prime=-\sin x$$ $\pi/2$'nin bir civarında hiç sıfır değeri vermediğinden emin olmamız gerekli.
Bu da, bir civar örneği olarak $\left(-\pi,\pi\right)-\{\frac\pi2\}$ için, sağlanıyor.