Belirsizlik:
Sürekli fonksiyon olan pay ve paydanın limitleri, sırasıyla, $$2^2-2^2=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ \sin(2\pi)=0$$ olduğundan elimizde $\left[\frac00\right]$ tarzı bir belirsizlik olur.
l'Hôpital uygulama:
Bir kere l'Hôpital kuralını kullanırsak\begin{align*}\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{2^{x}-x^2 }{\sin(\pi x)} \ &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 2}\frac{\ln 2\cdot 2^{x}-2x}{\pi \cdot \cos (\pi x)}\\[17pt]&= \ \frac{\ln 2\cdot 2^{2}-2\cdot 2}{\pi \cdot \cos(\pi \cdot 2)}\\[17pt]&= \ \frac4\pi\cdot (\ln 2-1)\end{align*}eşitliğini elde ederiz.
Kalan koşulu kontrol etme:
Her ne kadar verilen örneklerde bu ön koşul sağlansa da paydanın türevinin $$\pi\cdot \cos(\pi x)$$ $2$'nin bir civarında hiç sıfır değeri vermediğinden emin olmamız gerekli.
Bu da, bir civar örneği olarak $\left(\frac32,\frac52\right)-\{2\}$ için, sağlanıyor.