Belirsizlik:
Sürekli fonksiyon olan pay ve paydanın limitleri, sırasıyla, $$5\cdot 0+2^0-1=0+1-1=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 2\cdot 0+5^0-1=0+1-1=0$$ olduğundan elimizde $\left[\frac00\right]$ tarzı bir belirsizlik olur.
l'Hôpital uygulama:
Bir kere l'Hôpital kuralını kullanırsak\begin{align*}\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{5x+2^{x}-1}{2x+5^x-1} \ &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{5+\ln 2\cdot 2^{x}}{2+\ln 5 \cdot5^x}\\[17pt]&= \ \frac{5+\ln 2\cdot 2^{0}}{2+\ln 5 \cdot 5^0}\\[17pt]&= \ \frac{5+\ln 2}{2+\ln 5}\end{align*}eşitliğini elde ederiz.
Kalan koşulu kontrol etme:
Her ne kadar verilen örneklerde bu ön koşul sağlansa da paydanın türevinin $$2+\ln 5 \cdot5^x$$ $0$'ın bir civarında hiç sıfır değeri vermediğinden emin olmamız gerekli.
Bu da, bir civar örneği olarak $\left(-1,1\right)-\{0\}$ için, sağlanıyor.