Belirsizlik:
Sürekli fonksiyon olan pay ve paydanın limitleri, sırasıyla, $$\lim\limits_{x\to \infty}\ln (3+e^x)=\infty \ \ \ \text{ ve } \ \ \ \lim\limits_{x\to \infty} 3x=\infty$$ olduğundan elimizde $\left[\frac\infty\infty\right]$ tarzı bir belirsizliği olur.
l'Hôpital uygulama:
Bir kere l'Hôpital kuralı uygulayıp $e^x$ sadeleştirmesi yaparak sonuca ulaşabiliriz. Bu yol ile \begin{align*}\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\ln (3+e^x)}{3x}\ &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac\infty\infty\right]} \ \lim\limits_{x\to \infty}\frac{e^x/(3+e^x)}{3}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{x\to \infty}\frac{e^x}{9+3e^x}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{x\to \infty}\frac{1}{9e^{-x}+3}\\[15pt] &= \dfrac1{9\cdot 0 +3}\\[15pt] &= \dfrac13\end{align*} eşitliğini elde ederiz.
Kalan koşulu kontrol etme:
Her ne kadar verilen örneklerde bu ön koşul sağlansa da paydanın türevi $$ (3x)^\prime=3$$ sıfırın bir civarında hiç sıfır değeri vermediğinden emin olmamız gerekli.
Bu da, bir civar örneği olarak $\left(0,\infty\right)$ için, sağlanıyor.