Belirsizlik:
Sürekli fonksiyon olan pay ve paydanın limitleri, sırasıyla, $$\lim\limits_{x\to \infty}\ln(5x^3+1)=\infty \ \ \ \text{ ve } \ \ \ \lim\limits_{x\to \infty}\ln(3x^5+1)=\infty$$ olduğundan elimizde $\left[\frac\infty\infty\right]$ tarzı bir belirsizliği olur.
l'Hôpital uygulama:
Bir kere l'Hôpital uygulayıp $15x^7$ sadeleştirmesi yaparsak sonuca ulaşabiliriz. Bu yol ile \begin{align*}\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\ln (5x^3+1)}{\ln(3x^5+1)}\ &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac\infty\infty\right]} \ \lim\limits_{x\to 1^+}\frac{(15x^2)/(5x^3+1)}{(15x^4)/(3x^5+1)}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{x\to \infty}\frac{15x^2\cdot(3x^5+1)}{15x^4\cdot (5x^3+1)}\\[15pt] &\ = \ \lim\limits_{x\to \infty}\frac{3+x^{-5}}{5+x^{-3}}\\[15pt] &= \ \frac{3+0}{5+0} \\[15pt] &= \ \frac35\end{align*} eşitliğini elde ederiz.
Kalan koşulu kontrol etme:
Her ne kadar verilen örneklerde bu ön koşul sağlansa da paydanın türevi $$(15x^4)/(3x^5+1)$$ sıfırın bir civarında hiç sıfır değeri vermediğinden emin olmamız gerekli.
Bu da, bir civar örneği olarak $\left(0,\infty\right)$ için, sağlanıyor.