Belirsizlik:
Taban ve kuvvetin limitleri, sırasıyla, $$\lim\limits_{x\to 0^+}\frac2\pi\arccos x = \frac2\pi\arccos0=\frac2\pi\cdot\frac\pi2=1 \ \ \ \text{ ve }$$ $$\lim\limits_{x\to 0^+}\frac\pi{\sin x}=\infty$$ olduğundan elimizde $\left[1^\infty\right]$ tarzı bir belirsizlik olur.
Logaritma alma:
$[1^\infty]$ belirsizliği var. Bu belirsizliği $[0/0]$ belirsizliğine çevirmek için fonksiyonun logaritması ile ilgilenelim.
Logaritma aldığımızda, sıfırın pozitif yöndeki bir civarında, \begin{align*}\ln \left(\dfrac{2}{\pi}\arccos x\right)^\dfrac{\pi}{\sin x}\ &= \ \dfrac{\pi}{\sin x}\cdot\ln \left(\dfrac{2}{\pi}\arccos x\right)\\[15pt] &= \ \dfrac{\pi\cdot\ln \left(\dfrac{2}{\pi}\arccos x\right)}{\sin x}\end{align*}eşitliğini sağlanır.
Logaritmasının limiti:
$[0/0]$ belirsizliği var. Bu belirsizliği gidermek için l’Hôpital uygularsak \begin{align*}\lim\limits_{x\to 0^+}&\dfrac{\pi\cdot\ln \left(\dfrac{2}{\pi}\arccos x\right)}{\sin x}\\[15pt] &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\pi\cdot\left(\dfrac{2}{\pi}\cdot -\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\right) \cdot\left(\dfrac{2}{\pi}\arccos x\right)^{-1}}{\cos x} \\[15pt] &= \ \dfrac{\pi\cdot\left(\dfrac{2}{\pi}\cdot -\dfrac1{\sqrt{1-0^2}}\right) \cdot\left(\dfrac{2}{\pi}\cdot \dfrac\pi2\right)^{-1}}{\cos 0} \\[15pt] &= \ -2\end{align*}eşitliğini elde ederiz.
Fonksiyonun limiti:
$\exp \circ \ln$ birim fonksiyon olduğundan $\ln$'i geri almak için $\exp$ kullanalım.
$\exp$ fonksiyonu sürekli olduğundan, özel olarak $−2$ noktasında sürekli olduğundan, \begin{align*}\lim\limits_{x\to 0^+}\left(\dfrac{2}{\pi}\arccos x\right)^\dfrac{\pi}{\sin x}\ &= \ \lim\limits_{x\to 0^+}\exp \left[\ln \left(\dfrac{2}{\pi}\arccos x\right)^\dfrac{\pi}{\sin x}\right]\\[15pt] &= \ \exp\left[ \lim\limits_{x\to 0^+}\ln \left(\dfrac{2}{\pi}\arccos x\right)^\dfrac{\pi}{\sin x}\right]\\[15pt] &= \ \exp(-2) \\[15pt] &= \ e^{-2} \end{align*} eşitliğini elde ederiz.
Kalan koşulu kontrol etme:
Her ne kadar verilen l'Hôpital sorularında bu ön koşul sağlansa da paydanın türevi $$\sin^\prime x=\cos x$$ sıfırın bir civarında hiç sıfır değeri vermediğinden emin olmamız gerekli.
Bu da, bir civar örneği olarak $\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)-\{0\}$ için, sağlanıyor.