Belirsizlik:
Taban ve kuvvetin limitleri, sırasıyla, $$\lim\limits_{x\to \infty}x =\infty \ \ \ \text{ ve }\ \ \ \lim\limits_{x\to \infty}\frac1x=0$$ olduğundan elimizde $\left[\infty^0\right]$ tarzı bir belirsizlik olur.
Logaritma alma:
$[\infty^0]$ belirsizliği var. Bu belirsizliği $[\infty/\infty]$ belirsizliğine çevirmek için fonksiyonun logaritması ile ilgilenelim.
Logaritma aldığımızda, pozitif gerçel sayılar üzerinde, \begin{align*}\ln \left(x^{1/x}\right)\ &= \ \dfrac{1}{x}\cdot\ln x\\[15pt] &= \ \dfrac{\ln x}{x}\end{align*}eşitliğini sağlanır.
Logaritmasının limiti:
$[\infty/\infty]$ belirsizliği var. Bu belirsizliği gidermek için l’Hôpital uygularsak \begin{align*}\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{\ln x}{x}\ &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{1/x}{1} \\[15pt] &= \ \dfrac01 \\[15pt] &= \ 0\end{align*}eşitliğini elde ederiz.
Fonksiyonun limiti:
$\exp \circ \ln$ birim fonksiyon olduğundan $\ln$'i geri almak için $\exp$ kullanalım.
$\exp$ fonksiyonu sürekli olduğundan, özel olarak $0$ noktasında sürekli olduğundan, \begin{align*}\lim\limits_{x\to \infty}x^{1/x}\ &= \ \lim\limits_{x\to \infty}\exp \left(\ln x^{1/x}\right)\\[15pt] &= \ \exp\left( \lim\limits_{x\to \infty}\ln \left(x^{1/x}\right)\right)\\[15pt] &= \ \exp(0) \\[15pt] &= \ e^{0} \\[15pt] &= \ 1 \end{align*} eşitliğini elde ederiz.
Kalan koşulu kontrol etme:
Her ne kadar verilen l'Hôpital sorularında bu ön koşul sağlansa da paydanın türevi $$ (x)^\prime=1$$ sıfırın bir civarında hiç sıfır değeri vermediğinden emin olmamız gerekli.
Bu da, bir civar örneği olarak $\left(-1,1\right)-\{0\}$ için, sağlanıyor.