Yöntem:
Türevi ve kendisi makul değerler alan bir $f$ fonksiyonu ve bir $a$ noktası seçerek
$f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki teğet doğrusunu bulacağız.
Bu doğrunun oluşturduğu fonksiyon ile istenen değere bir yaklaşımda bulunacağız.
Makul fonksiyon seçimi:
$f$ fonksiyonunu kuralı $$f(x)=\sqrt{x}$$ fonksiyon olarak seçelim.
Fonksiyonun türevi:
$f(x)=x^{1/2}$ fonksiyonunun türevi $$f^\prime(x)=\frac12x^{\frac12-1}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$ olur.
Makul nokta seçimi:
$123$ değerine yakın $121$ değeri için $$f(121)=\sqrt{121}=11 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ f^\prime(121)=\dfrac{1}{2\sqrt{121}}=\dfrac1{22}$$ eşitlikleri sağlanır.
Teğet denklemi:
$\sqrt x$ fonksiyonunun $121$ noktasındaki bir teğet denklemi $$y=f(121)+f^\prime(121)(x-121) \ \ \ \text{ yani }\ \ \ y=11+\frac1{22}(x-121)$$ olur.
Doğrusal yaklaşım fonksiyonu:
Bu teğet doğrusu ile elde edeceğimiz $$L(x)=11+\frac1{22}(x-121)$$ doğrusal yaklaşım fonksiyonunu tanımlayalım.
Yaklaşık değer:
$f$ fonksiyonuna $123$ noktasındaki değeri olan $\sqrt{123}$ yaklaşık olarak $$L(123)=11+\frac1{22}(123-121)=11+\frac1{11}=11+\frac9{99}=11.\overline{09}$$ değerine eşit olur.
Hata payı için ikinci türev:
$f$ fonksiyonunun ikinci türevi, birinci türevinin $\frac12x^{-1/2}$ olduğunu kullanırsak, $$f^{\prime\prime}(x)=\frac12\left(-\frac12x^{-\frac12-1}\right)=-\frac1{4x^{3/2}}$$ olur.
Hata payı:
İkinci türev $121$ ile $123$ arasındaki her değer için var olduğundan, bir $s\in(121,123)$ değeri için $$f(123)-L(123)=\frac{f^{\prime\prime}(s)}{2}(123-121)^2=2f^{\prime\prime}(s)$$ eşitliği sağlanır.
Hata payı için üst sınır:
$s \in (121,123)$ olduğundan \begin{align*}|f(123)-L(123)|&=2\left|f^{\prime\prime}(s)\right|\\[15pt] &=\frac1{2s^{3/2}} \\[15pt] &< \frac{1}{2\cdot 121^{3/2}}\\[15pt] &=\dfrac{1}{2662}\\[15pt] &<\dfrac{4}{10000} \\[15pt] &=0.0004\end{align*} eşitsizliği sağlanır.
Ek bilgi:
$\sqrt{123}$ sayısı, birkaç basamak yazılmış hali ile, $$11.09053650\ldots$$ olarak verilebilir.