Yöntem:
Türevi ve kendisi makul değerler alan bir $f$ fonksiyonu ve bir $a$ noktası seçerek
$f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki teğet doğrusunu bulacağız.
Bu doğrunun oluşturduğu fonksiyon ile istenen değere bir yaklaşımda bulunacağız.
Makul fonksiyon seçimi:
$f$ fonksiyonunu kuralı $$f(x)=\sqrt[3]{x}$$ fonksiyon olarak seçelim.
Fonksiyonun türevi:
$f(x)=x^{1/3}$ fonksiyonunun türevi $$f^\prime(x)=\frac13x^{\frac13-1}=\frac{1}{3x^{2/3}}$$ olur.
Makul nokta seçimi:
$1001$ değerine yakın $100$ değeri için $$f(1000)=\sqrt[3]{1000}=10 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ f^\prime(1000)=\dfrac{1}{3\cdot (1000)^{2/3}}=\dfrac1{300}$$ eşitlikleri sağlanır.
Teğet denklemi:
$\sqrt x$ fonksiyonunun $1000$ noktasındaki bir teğet denklemi $$y=f(1000)+f^\prime(1000)(x-1000) \ \ \ \text{ yani }\ \ \ y=10+\frac1{300}(x-1000)$$ olur.
Doğrusal yaklaşım fonksiyonu:
Bu teğet doğrusu ile elde edeceğimiz $$L(x)=10+\frac1{300}(x-1000)$$ doğrusal yaklaşım fonksiyonunu tanımlayalım.
Yaklaşık değer:
$f$ fonksiyonuna $1001$ noktasındaki değeri olan $\sqrt[3]{1001}$ yaklaşık olarak $$L(1001)=10+\frac1{300}(1001-1000)=10+\frac1{300}=10+\frac3{900}=10.00\overline{3}$$ değerine eşit olur.
Hata payı için ikinci türev:
$f$ fonksiyonunun ikinci türevi, birinci türevinin $\frac13x^{-2/3}$ olduğunu kullanırsak, $$f^{\prime\prime}(x)=\frac13\left(-\frac23x^{-\frac23-1}\right)=-\frac2{9x^{5/3}}$$ olur.
Hata payı:
İkinci türev $1000$ ile $1001$ arasındaki her değer için var olduğundan, bir $s\in(1000,1001)$ değeri için $$f(1001)-L(1001)=\frac{f^{\prime\prime}(s)}{2}(1001-1000)^2=\frac12f^{\prime\prime}(s)$$ eşitliği sağlanır.
Hata payı için üst sınır:
$s \in (1000,1001)$ olduğundan \begin{align*}|f(1001)-L(1001)|&=\frac12\left|f^{\prime\prime}(s)\right|\\[15pt] &=\frac1{9s^{5/3}} \\[15pt] &< \frac{1}{9\cdot 1000^{5/3}}\\[15pt] &=\dfrac{1}{900000}\\[15pt] &=0.00000\overline{1}\end{align*} eşitsizliği sağlanır.
Ek bilgi:
$\sqrt[3]{1001}$ sayısı, birkaç basamak yazılmış hali ile, $$11.00333222283\ldots$$ olarak verilebilir.