Yöntem:
Türevi ve kendisi makul değerler alan bir $f$ fonksiyonu ve bir $a$ noktası seçerek
$f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki teğet doğrusunu bulacağız.
Bu doğrunun oluşturduğu fonksiyon ile istenen değere bir yaklaşımda bulunacağız.
Makul fonksiyon seçimi:
$f$ fonksiyonunu kuralı $$f(x)=e^{x}$$ fonksiyon olarak seçelim.
Fonksiyonun türevi:
$f(x)=e^x$ fonksiyonunun türevi $$f^\prime(x)=e^x$$ olur.
Makul nokta seçimi:
$0.12$ değerine yakın $0$ değeri için $$f(0)=e^0=1 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ f^\prime(0)=e^0=1$$ eşitlikleri sağlanır.
Teğet denklemi:
$e^x$ fonksiyonunun $0$ noktasındaki bir teğet denklemi $$y=f(0)+f^\prime(0)(x-0) \ \ \ \text{ yani }\ \ \ y=1+1(x-0)=1+x$$ olur.
Doğrusal yaklaşım fonksiyonu:
Bu teğet doğrusu ile elde edeceğimiz $$L(x)=1+x$$ doğrusal yaklaşım fonksiyonunu tanımlayalım.
Yaklaşık değer:
$f$ fonksiyonuna $0.12$ noktasındaki değeri olan $e^{0.12}$ yaklaşık olarak $$L(0.12)=1+0.12=1.12$$ değerine eşit olur.
Hata payı için ikinci türev:
$f$ fonksiyonunun ikinci türevi $$f^{\prime\prime}(x)=e^x$$ olur.
Hata payı:
İkinci türev $0$ ile $0.12$ arasındaki her değer için var olduğundan, bir $s\in(0,0.12)$ değeri için $$f(0.12)-L(0.12)=\frac{f^{\prime\prime}(s)}{2}(0.12-0)^2=\frac12f^{\prime\prime}(s)$$ eşitliği sağlanır.
Hata payı için üst sınır:
$s \in (0,0.12)$ olduğundan \begin{align*}|f(0.12)-L(0.12)|&=\frac12\left|f^{\prime\prime}(s)\right|\\[15pt] &=\frac{0.12^2}{2}e^s \\[15pt] &< \frac{0.12^2}{2}\cdot e^{0.12}\\[15pt]&< \frac{0.12^2}{2}\cdot 2\\[15pt] &=0.12^2\\[15pt] &=0.0144\end{align*} eşitsizliği sağlanır.
Ek bilgi:
$e^{0.12}$ sayısı, birkaç basamak yazılmış hali ile, $$1.1274968515\ldots$$ olarak verilebilir.