Yöntem:
Türevi ve kendisi makul değerler alan bir $f$ fonksiyonu ve bir $a$ noktası seçerek
$f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki teğet doğrusunu bulacağız.
Bu doğrunun oluşturduğu fonksiyon ile istenen değere bir yaklaşımda bulunacağız.
Makul fonksiyon seçimi:
$f$ fonksiyonunu kuralı $$f(x)=\frac1x$$ fonksiyon olarak seçelim.
Fonksiyonun türevi:
$f(x)=x^{-1}$ fonksiyonunun türevi $$f^\prime(x)=-x^{-1-1}=-\frac{1}{x^2}$$ olur.
Makul nokta seçimi:
$2023$ değerine yakın $2000$ değeri için $$f(2000)=\frac{1}{2000}=5\cdot10^{-4} \ \ \ \text{ ve } \ \ \ f^\prime(2000)=-\dfrac{1}{(2000)^2}=-25\cdot10^{-8}$$ eşitlikleri sağlanır.
Teğet denklemi:
$x^{-1}$ fonksiyonunun $2000$ noktasındaki bir teğet denklemi $$y=f(2000)+f^\prime(2000)(x-2000) \ \ \ \text{ yani }\ \ \ y=5\cdot10^{-4}-25\cdot10^{-8}(x-2000)$$ olur.
Doğrusal yaklaşım fonksiyonu:
Bu teğet doğrusu ile elde edeceğimiz $$L(x)=5\cdot10^{-4}-25\cdot10^{-8}(x-2000)$$ doğrusal yaklaşım fonksiyonunu tanımlayalım.
Yaklaşık değer:
$f$ fonksiyonuna $2023$ noktasındaki değeri olan $2023^{-1}$ yaklaşık olarak $$L(2023)=5\cdot10^{-4}-25\cdot10^{-8}(2023-2000)=5\cdot10^{-4}-575\cdot10^{-8}=0.00049425$$ değerine eşit olur.
Hata payı için ikinci türev:
$f$ fonksiyonunun ikinci türevi, birinci türevinin $-x^{-2}$ olduğunu kullanırsak, $$f^{\prime\prime}(x)=-(-2)x^{-2-1}=\frac2{x^{3}}$$ olur.
Hata payı:
İkinci türev $2000$ ile $2023$ arasındaki her değer için var olduğundan, bir $s\in(2000,2023)$ değeri için $$f(2023)-L(2023)=\frac{f^{\prime\prime}(s)}{2}(2023-2000)^2=\frac{529}2f^{\prime\prime}(s)$$ eşitliği sağlanır.
Hata payı için üst sınır:
$s \in (2000,2023)$ olduğundan \begin{align*}|f(2023)-L(2023)|&=\frac{529}2\left|f^{\prime\prime}(s)\right|\\[15pt] &=\frac{529}{s^3} \\[15pt] &< \frac{800}{2000^3}\\[15pt] &=\dfrac{1}{10^7}\\[15pt] &=0.0000001\end{align*} eşitsizliği sağlanır.
Ek bilgi:
$(2023)^{-1}$ sayısı, birkaç basamak yazılmış hali ile, $$0.0004943153732081067\ldots$$ olarak verilebilir.