Rolle Savı:
$b>a$ gerçel sayılar olmak üzere $f:[a,b]\to \mathbb R$ fonksiyonu sürekli ve $(a,b)$ aralığı üzerinde türevlenebilir olsun. $f(a)=f(b)$ ise $(a,b)$ aralığındaki bir $c$ değeri için $$f^\prime(c)=0$$ eşitliği sağlanır.
Yol:
(1) Fonksiyonun $[0,\frac\pi2]$ üzerinde sürekli olduğunu söyleyeceğiz.
(2) Fonksiyonun türevini bulup $(0,\frac\pi2)$ üzerinde türevlenebildiğini göstereceğiz.
(3) $f(0)=f(\frac\pi2)$ olduğunu göstereceğiz.
(4) Rolle savı gereği bir $c\in(0,\frac\pi2)$ için $f^\prime(c)=0$ olası gerektiğini söyleyeceğiz.
(5) Türevin sıfır olduğu noktaları inceleyeceğiz.
(6) Bu noktalardan $(0,\frac\pi2)$ aralığına düşen bir $c$ değeri bulacağız.
(7) Sonuç olarak Rolle savının bu örnek için doğru olduğunu belirteceğiz.
Fonksiyonun sürekli olması:
$f$, $\mathbb R$ üzerinde sürekli olan $\cos x$ ve $\sin x$ fonksiyonlarının toplamı olduğundan $\mathbb R$ üzerinde sürekli bir fonksiyondur.
Özel olarak $[0,\frac\pi2]$ aralığı üzerinde süreklidir.
Fonksiyonun türevi:
$f$ fonksiyonunun türevi $$f(x)=-\sin x+\cos x$$ olur.
Özel olarak $f$, $(0,\frac\pi2)$ aralığı üzerinde türevlenebilir bir fonksiyondur.
Fonksiyonun uç noktalardaki değeri:
$[0,\frac\pi2]$ aralığının uç değerleri için, $\sin 0=\cos \frac\pi2=0$ ve $\cos 0 =\sin\frac\pi2=1$ olduğundan, $$f(0)=f\left(\frac\pi2\right)=1$$ eşitliği sağlanır.
Rolle savı sonucu:
$f$ fonksiyonu $[0,\frac\pi2]$ aralığı üzerinde sürekli, $\left(0,\frac\pi2\right)$ aralığı üzerinde türevlenebilir ve $f(0)=f(\frac\pi2)$ eşitliği sağlandığından bir $c\in (0,\frac\pi2)$ için $$f^\prime(c)=0$$ eşitliği sağlanır.
Amaç:
Rolle savının doğruluğunu bu örnek için göstermek istersek $$f^\prime(c)=0$$ eşitliğini sağlayan bir $c\in (0,\frac\pi2)$ değeri bulmamız gerekir.
Türevi sıfır olan bir nokta(ları) saptama:
Türevi $0$ değerine eşitlersek $$-\sin c+\cos c=0 \iff \sin c=\cos c$$ sağlanır. Bu eşitlik $k$ bir tam sayısı olmak üzere $$c=\frac\pi4+k\pi$$ değeri için sağlanır.
Aralığa düşen bir c değeri seçme:
$\frac{\pi}4\in(0,\frac\pi2)$ için $$f^\prime\left(\frac{\pi}4\right)=0$$ sağlanır.
Sonuç:
$[0,\frac\pi2]$ aralığı üzerinde sürekli, $(0,\frac\pi2)$ aralığı üzerinde türevlenebilir ve $f(0)=f(\frac\pi2)$ eşitliği sağlayan $f$ fonksiyonu $\frac{\pi}4\in (0,\frac\pi2)$ değeri için $$f^\prime\left(\frac{\pi}4\right)=0$$ eşitliğini sağlar.