Teğet denklemleri:
$f$ fonksiyonu $a$ noktasında türevleniyorsa $(a,f(a))$ noktasındaki eğimi $f^\prime(a)$ olur ve teğet denklemi $$y-f(a)=f^\prime(a)(x-a) \ \ \ \text{ ya da } \ \ \ y=f(a)+f^\prime(a)(x-a)$$ olarak ya da başka bir düzenlenmiş hali olarak yazılabilir.
İhtiyacımız olan bilgiler:
Verilen $f$ fonksiyonunun verilen $a$ noktasındaki teğet denklemini yazabilmek için $$f(a) \ \ \ \text{ ve } \ \ \ f^\prime(a)$$ değerlerini hesaplamamız gerekli.
Bu soru için ihtiyacımız olan hesaplamalar verilen $f$ fonksiyonu için $$f(1) \ \ \ \text{ ve } \ \ \ f^\prime(1)$$ değerleridir.
Yöntem:
$f$ halihazırda verildiğinden izleyeceğimiz yöntem, sırasıyla,
(1) $f(1)$ değerini hesaplama
(2) $f^\prime$ fonksiyonunu bulma
(3) $f^\prime(1)$ değerini hesaplama
(4) Teğet denklemini yazma
olacaktır.
Fonksiyon değeri:
$f(x)=1+x^2\arctan x+x^3\ln x$ için $$f(1)=1+1^2\cdot \arctan 1+1^3\cdot \ln 1=1+1\cdot \frac\pi4+1\cdot 0=1+\frac\pi4$$ eşitliği sağlanır.
Fonksiyonun türevi:
$f$ fonksiyonunun türevi $$f^\prime(x)=\left(2x\cdot \arctan x+x^2\cdot \dfrac1{x^2+1}\right)+\left(3x^2\cdot \frac1x+3x^2\cdot \ln x\right)$$ olur.
Türev değeri:
$f$ fonksiyonunun $1$ noktasındaki türevi $$f^\prime(1)=\left(2\cdot 1\cdot \arctan 1+1^2\cdot \dfrac1{1^2+1}\right)+\left(3\cdot 1^2\cdot \frac11+3\cdot 1^2\cdot \ln 1\right)=\dfrac{\pi+3}2$$ olur.
Birkaç teğet denklemi:
$f$ fonksiyonun $1$ noktasındaki bir teğet denklemini $$y-\left(1+\frac\pi4\right)=\dfrac{\pi+3}2(x-1) \ \ \ \text{ya da } \ \ \ y=\left(1+\frac\pi4\right)+\dfrac{\pi+3}2(x-1) $$ olur.