Teğet denklemleri:
$f$ fonksiyonu $a$ noktasında türevleniyorsa $(a,f(a))$ noktasındaki eğimi $f^\prime(a)$ olur ve teğet denklemi $$y-f(a)=f^\prime(a)(x-a) \ \ \ \text{ ya da } \ \ \ y=f(a)+f^\prime(a)(x-a)$$ olarak ya da başka bir düzenlenmiş hali olarak yazılabilir.
İhtiyacımız olan bilgiler:
Verilen $f$ fonksiyonunun verilen $a$ noktasındaki teğet denklemini yazabilmek için $$f(a) \ \ \ \text{ ve } \ \ \ f^\prime(a)$$ değerlerini hesaplamamız gerekli.
Bu soru için ihtiyacımız olan hesaplamalar verilen $f$ fonksiyonu için $$f(1) \ \ \ \text{ ve } \ \ \ f^\prime(1)$$ değerleridir.
Yöntem:
$f$ halihazırda verildiğinden izleyeceğimiz yöntem, sırasıyla,
(1) $f(1)$ değerini hesaplama
(2) $f^\prime$ fonksiyonunu bulma
(3) $f^\prime(1)$ değerini hesaplama
(4) Teğet denklemini yazma
olacaktır.
Fonksiyon değeri:
$f(x)=\dfrac{x^2+x+1}{\arctan x}$ için $$f(1)=\dfrac{1^2+1+1}{\arctan 1}=\dfrac{3}{\pi/4}=\dfrac{12}\pi$$ eşitliği sağlanır.
Fonksiyonun türevi:
$f$ fonksiyonunun türevi $$f^\prime(x)=\dfrac{(2x+1)\cdot \arctan x-(x^2+x+1)\cdot \dfrac{1}{1+x^2}}{(\arctan x)^2}$$ olur.
Türev değeri:
$f$ fonksiyonunun $1$ noktasındaki türevi $$f^\prime(1)=\dfrac{(2\cdot 1+1)\cdot \arctan 1-(1^2+1+1)\cdot \dfrac{1}{1+1^2}}{(\arctan 1)^2}=\dfrac{12(\pi-2)}{\pi^2}$$ olur.
Birkaç teğet denklemi:
$f$ fonksiyonun $3$ noktasındaki bir teğet denklemini $$y-\dfrac{12}\pi=\dfrac{12(\pi-2)}{\pi^2}(x-1) \ \ \ \text{ya da } \ \ \ y=\dfrac{12}\pi+\dfrac{12(\pi-2)}{\pi^2}(x-1) $$ olur.