Teğet denklemleri:
$f$ fonksiyonu $a$ noktasında türevleniyorsa $(a,f(a))$ noktasındaki eğimi $f^\prime(a)$ olur ve teğet denklemi $$y-f(a)=f^\prime(a)(x-a) \ \ \ \text{ ya da } \ \ \ y=f(a)+f^\prime(a)(x-a)$$ olarak ya da başka bir düzenlenmiş hali olarak yazılabilir.
İhtiyacımız olan bilgiler:
Verilen $f$ fonksiyonunun verilen $a$ noktasındaki teğet denklemini yazabilmek için $$f(a) \ \ \ \text{ ve } \ \ \ f^\prime(a)$$ değerlerini hesaplamamız gerekli.
Bu soru için ihtiyacımız olan hesaplamalar verilen $f$ fonksiyonu için $$f(0) \ \ \ \text{ ve } \ \ \ f^\prime(0)$$ değerleridir.
Yöntem:
$f$ halihazırda verildiğinden izleyeceğimiz yöntem, sırasıyla,
(1) $f(0)$ değerini hesaplama
(2) $f^\prime$ fonksiyonunu bulma
(3) $f^\prime(0)$ değerini hesaplama
(4) Teğet denklemini yazma
olacaktır.
Fonksiyon değeri:
$f(x)=\dfrac{(3x^2+1)\cos x}{3e^x+1}$ için $$f(0)=\dfrac{(3\cdot 0^2+1)\cdot \cos 0}{3e^0+1}=\dfrac{1\cdot 1}{3+1}=\dfrac14$$ eşitliği sağlanır.
Fonksiyonun logaritmalı türevi:
$\ln f(x)=\ln(3x^2+1)+\ln(\cos x)-\ln(3e^x+1)$ olduğundan $$\dfrac{f^\prime(x)}{f(x)}=\dfrac{6x}{3x^2+1}+\dfrac{-\sin x}{\cos x}-\dfrac{3e^x}{3e^x+1}$$ eşitliği sağlanır.
Türev değeri:
Bu eşitliği $0$ değeri için hesaplarsak $$\dfrac{f^\prime(0)}{f(0)}=\dfrac{6\cdot 0}{3\cdot 0^2+1}+\dfrac{-\sin 0}{\cos 0}-\dfrac{3e^0}{3e^0+1}=0+0-\frac34=-\frac34$$ eşitliği sağlanır.
Ayrıca $f(0)=\frac14$ olduğundan $f$ fonksiyonunun $0$ noktasındaki türevi $$f^\prime(0)=f(0) \cdot \left(-\frac34\right)=\frac14\cdot \left(-\frac34\right)=-\dfrac{3}{16}$$ olur.
Birkaç teğet denklemi:
$f$ fonksiyonun $0$ noktasındaki bir teğet denklemini $$y-\dfrac14=-\dfrac{3}{16}(x-0) \ \ \ \text{ya da } \ \ \ y=\dfrac14-\dfrac{3}{16}x$$ olur.