Teğet denklemleri:
$y$ fonksiyonu $a$ noktasında türevleniyorsa $(a,y(a))$ noktasındaki eğimi $y\prime(a)$ olur ve teğet denklemi $$y-y(a)=y^\prime(a)(x-a) \ \ \ \text{ ya da } \ \ \ y=y(a)+y^\prime(a)(x-a)$$ olarak ya da başka bir düzenlenmiş hali olarak yazılabilir.
İhtiyacımız olan bilgiler:
Verilen $y$ fonksiyonunun verilen $a$ noktasındaki teğet denklemini yazabilmek için $$y(a) \ \ \ \text{ ve } \ \ \ y^\prime(a)$$ değerlerini hesaplamamız gerekli.
Bu soru için ihtiyacımız olan hesaplamalar verilen $y$ fonksiyonu için $$y(1) \ \ \ \text{ ve } \ \ \ y^\prime(1)$$ değerleridir.
Yöntem:
$f$ halihazırda verildiğinden izleyeceğimiz yöntem, sırasıyla,
(0) $y(1)$ değeri halihazırda verilmiş
(1) $y^\prime$ fonksiyonunu bulma
(2) $y^\prime(1)$ değerini hesaplama
(3) Teğet denklemini yazma
olacaktır.
Kapalı fonksiyonun türevi:
Verilen eşitliğin türevini alırsak $$4x^3+4y^3\cdot y^\prime=0$$ eşitliği sağlanır.
Düzenleme:
Biraz düzenleme yaparsak, tanımlı olmayı bozmadan, \begin{align*}4x^3+4y^3\cdot y^\prime=0\ &\iff \quad 4y^3\cdot y^\prime=-4x^3\\[17pt]&\iff \quad y^\prime=-\frac{x^3}{y^3}\end{align*} eşitliği sağlanır.
Teğetin eğimini bulma:
Bu eşitliği kullanırsak $y$ fonksiyonunun $1$ noktasındaki teğet dogrusunun eğimi $$y^\prime (1)=-\frac{1^3}{y^3(1)}=-\frac{1^3}{1^3}=-1$$ değerine eşit olur.
Birkaç teğet denklemi:
$y$ fonksiyonunun $1$ noktasındaki teğet dogrusunun eğimi $-1$ olduğundan ve $(1,1)$ noktasından geçtiğinden, bir denklemi $$y-1=(-1)\cdot (x-1)\ \ \ \text{ ya da } \ \ \ y=-x+2$$ olur.