Zincir kuralına uygun yazma:
Zincir kuralını uygulayabilmek için fonksiyonumuzu halihazırda türevlerini bildiğimiz fonksiyonların bileşkesi olarak yazmamız gerekir. Bu amaç doğrultusunda
$f$ fonksiyonunun kuralını \begin{align*}f(x)\ = \ \left(1+x^2-\frac1{x^2}\right)^{\frac73}\ &=\ \underbrace{\left(x^{7/3}\right)}_{f_2(x)}\circ\underbrace{\left(1+x^2-\frac1{x^2}\right)}_{f_1(x)}\end{align*} olarak yazabiliriz.
Bilgimizin olduğu türevler ve istenen türevin varlığı:
Gerçel sayılar üzerinde kuralı $1+x^2-\frac1{x^2}$ ve $x^{7/3}$ olan fonksiyonlar türevlenebilir fonksiyonlardır ve türevleri sırası ile
$2x+\dfrac2{x^3}$ ve $\dfrac73\cdot x^{4/3}$
fonksiyonlarıdır.
Bu türevler var olduğundan, zincir kuralı gereği, bu fonksiyonların bileşkesi olan $f$ fonksiyonu da gerçel sayılar üzerinde türevlenebilir.
Zincir kuralı ile türevi bulma:
Zincir kuralı gereği, bu türev \begin{align*}f^\prime(x)\ &= \ \underbrace{\left(2x+\dfrac2{x^3}\right)}_{f_1^\prime(x)}\cdot \underbrace{\dfrac73\left(1+x^2-\frac1{x^2}\right)^{\frac73-1}}_{f_2^\prime(f_1(x))} \\[15pt] &= \ \dfrac{14}3\cdot \left(x+\dfrac1{x^3}\right)\cdot \left(1+x^2-\frac1{x^2}\right)^{\frac43}\end{align*} olur.