Kullanacağımız türev tanımı:
$f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki türevini $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)- f(a)}{x-a}$$ olarak tanımlıyoruz.
Türev değerini bulma:
Türevin tanımı kullanırsak $f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki türevi \begin{align*}\lim_{x \to 1} \frac{f(x)- f(1)}{x-1}&=\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^3+3x}-2}{x-1}\\[17pt]&=\lim_{x \to 1}\left(\frac{\sqrt{x^3+3x}-2}{x-1}\cdot \frac{\sqrt{x^3+3x}+2}{\sqrt{x^3+3x}+2}\right)\\[17pt]&=\lim_{x \to 1}\left(\frac{(x^3+3x)-2^2}{x-1}\cdot \frac{1}{\sqrt{x^3+3x}+2}\right)\\[17pt]&=\lim_{x \to 1}\left(\frac{x^3+3x-4}{x-1}\cdot \frac{1}{\sqrt{x^3+3x}+2}\right)\\[17pt]&=\lim_{x \to 1}\left(\frac{(x-1)\cdot (x^2+x+4)}{x-1}\cdot \frac{1}{\sqrt{x^3+3x}+2}\right)\\[17pt]&=\lim_{x \to 1} \frac{x^2+x+4}{\sqrt{x^3+3x}+2}\\[17pt] &= \dfrac{1^2+1+4}{\sqrt{1^3+3}+2}\\[17pt] &=\frac32\end{align*} değerine eşit olur.
Çarpanlara ayırma:
(1) $1$, $x^3+3x-4$'ün bir kökü olduğundan $$x^3+3x-4=(x-1)(ax^2+bx+c)$$ olarak yazılabilir.
(2) Baş katsayı gereği $a=1$ ve sabit terim gereği $c=4$ olur; yani $$x^3+3x-4=(x-1)(x^2+bx+4)$$ olarak yazılabilir.
(3) Kökler toplamı (ya da $x^2$ katsayıları gereği) gereği $0=1+(-b)$ eşitliğini elde ederiz. Bu da bize $$x^3-3x+2=(x-1)(x^2+x+4)$$ olduğunu verir.