Kullanacağımız türev tanımı:
$f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki türevini $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)- f(a)}{x-a}$$ olarak tanımlıyoruz.
1'in bir civarında fonksiyon kuralı:
$x^3-3x+1$ sürekli bir fonksiyon ve $x=1$ için $$1^3-3\cdot 1+1=-1$$ değerini alıyor. Dolayısıyla $1$ noktasının bir civarında $x^3-3x+1$ negatif değerler alır ve bu civar üzerinde $$f(x)=|x^3-3x+1|=-(x^3-3x+1)$$ eşitliği sağlanır.
Türev değerini bulma:
Türevin tanımı kullanırsak $f$ fonksiyonunun $1$ noktasındaki türevi \begin{align*}\lim_{x \to 1} \frac{f(x)- f(1)}{x-1}&=\lim_{x \to 1} \frac{|x^3-3x+1|-1}{x-1}\\[11pt] &=\lim_{x \to 1}\frac{-(x^3-3x+1)-1}{x-1}\\[11pt] &=\lim_{x \to 1}\frac{-(x^3-3x+2)}{x+1}\\[11pt] &=\lim_{x \to 1}\dfrac{-(x-1)\cdot (x^2+x-2)}{x-1}\\[11pt] &=\lim_{x \to 1}-(x^2+x-2)\\[11pt] &= -(1^2+1-2)\\[11pt] &=0\end{align*} değerine eşit olur.
Çarpanlara ayırma:
(1) $1$, $x^3-3x+2$'in bir kökü olduğundan $$x^3-3x+2=(x-1)(ax^2+bx+c)$$ olarak yazılabilir.
(2) Baş katsayı gereği $a=1$ ve sabit terim gereği $c=-2$ olur; yani $$x^3-3x+2=(x-1)(x^2+bx-2)$$ olarak yazılabilir.
(3) Kökler toplamı (ya da $x^2$ katsayıları gereği) gereği $0=1+(-b)$ eşitliğini elde ederiz. Bu da bize $$x^3-3x+2=(x-1)(x^2+x-2)$$ olduğunu verir.