Logaritma ile fonksiyonu çarpım olarak yazma:
$x\in \mathbb R_+$ olmak üzere $$\ln f(x)=\ln\left(x^{\frac1x}\right)=\frac1x\cdot \ln x$$ eşitliği sağlanır.
Logaritmik türev varsa türev de vardır:
Gerçel sayılar üzerinde $\exp$ ve pozitif gerçel sayılar üzerinde $\ln f$ fonksiyonu türevlenebildiğinden pozitif gerçel sayılar üzerinde, bileşkeleri olan, $$f=\exp(\ln f)$$ fonksiyonu, zincir kuralı ile, türevlenebilir.
Türev alma:
Eşitliğin iki yanı için de türev alırsak $$\frac{f^\prime(x)}{f(x)}=-\frac1{x^2}\cdot \ln x+\frac1x\cdot \frac1x\ \ \ \text{ yani } \ \ \ \frac{f^\prime(x)}{f(x)}=\frac{1-\ln x}{x^2}$$ eşitliği sağlanır.
Düzenleme:
$f(x)=x^{1/x}$ olduğundan $$f^\prime(x) \ = \ x^{\frac1x}\cdot \frac{1-\ln x}{x^2} $$ eşitliğini elde ederiz.