$\dfrac{(x+2)^4\cdot (x+5)^7}{(x^3+1)^4}$ türevi

Question

$$f(x)=\frac{(x+2)^4\cdot (x+5)^7}{(x^3+1)^4}$$  fonksiyonunun pozitif gerçel sayılar üzerindeki türevini bulunuz.

Answer 1

Bu başlık altında logaritmik türevleme ile bir cevap vereceğiz.

---

Foksiyonun logaritması:
$f$ fonksiyonunun pozitif gerçel sayılar üzerindeki görüntüsü pozitif değerler aldığından $\ln f$ fonksiyonu ile ilgilenebiliriz. Bu fonksiyonun kuralı \begin{align*}\ln f(x) \ & = \ \ln \left(\frac{(x+2)^4\cdot (x+5)^7}{(x^3+1)^4}\right)\\[17pt] &= \ \ln((x+2)^4) +\ln((x+5)^7)-\ln((x^3+1)^4)\\[17pt] &= \ 4\ln(x+2) +7\ln(x+5) -4\ln(x^3+1)\end{align*} olur.

---

Logaritmik türev varsa türev de vardır:
Gerçel sayılar üzerinde $\exp$ ve pozitif gerçel sayılar üzerinde $\ln f$ fonksiyonu türevlenebildiğinden pozitif gerçel sayılar  üzerinde, bileşkeleri olan, $$f=\exp(\ln f)$$ fonksiyonu, zincir kuralı ile, türevlenebilir.

---

Logaritmalı eşitlikte türev:
Eşitliğin iki tarafında türev alırsak $$\frac{f^\prime(x)}{f(x)}=4\cdot \frac1{x+2}+7\cdot \frac1{x+5}-4\cdot \frac{3x^2}{x^3+1}$$ eşitliğini elde ederiz.

f fonksiyonunun türevi:
Elde ettiğimiz eşitliği $f(x)$ ile çarparsak $$f^\prime(x)= \frac{(x+2)^4\cdot (x+5)^7}{(x^3+1)^4}\cdot\left(\frac4{x+2}+\frac7{x+5}-\frac{12x^2}{x^3+1}\right) $$ eşitliği sağlanır.