Bu başlık altında logaritmik türevleme ile bir cevap vereceğiz.
Foksiyonun logaritması:
$f$ fonksiyonunun pozitif gerçel sayılar üzerindeki görüntüsü pozitif değerler aldığından $\ln f$ fonksiyonu ile ilgilenebiliriz. Bu fonksiyonun kuralı \begin{align*}\ln f(x) \ & = \ \ln \left(\frac{(x+1)\cdot (x+2)\cdot (x+3)}{x^4+1}\right)\\[17pt] &= \ \ln(x+1) +\ln(x+2) +\ln(x+3)-\ln(x^4+1)\end{align*} olur.
Logaritmalı eşitlikte türev:
Eşitliğin iki tarafında türev alırsak $$\frac{f^\prime(x)}{f(x)}=\frac1{x+1}+\frac1{x+2}+\frac1{x+3}-\frac{4x^3}{x^4+1}$$ eşitliğini elde ederiz.
f fonksiyonunun türevi:
Elde ettiğimiz eşitliği $f(x)$ ile çarparsak $$f^\prime(x)=\frac{(x+1)\cdot (x+2)\cdot (x+3)}{x^4+1}\cdot\left(\frac1{x+1}+\frac1{x+2}+\frac1{x+3}-\frac{4x^3}{x^4+1}\right) $$ eşitliği sağlanır.
Logaritmik türev varsa türev de vardır:
Gerçel sayılar üzerinde $\exp$ ve pozitif gerçel sayılar üzerinde $\ln f$ fonksiyonu türevlenebildiğinden pozitif gerçel sayılar üzerinde, bileşkeleri olan, $$f=\exp(\ln f)$$ fonksiyonu, zincir kuralı ile, türevlenebilir.