Bu başlık altında logaritmik türevleme ile bir cevap vereceğiz.
Foksiyonun logaritması:
$f$ fonksiyonunun negatif olmayan gerçel sayılar üzerindeki görüntüsü pozitif değerler aldığından $\ln f$ fonksiyonu ile ilgilenebiliriz. Bu fonksiyonun kuralı \begin{align*}\ln f(x) \ & = \ \ln \left(\frac{(x+a)^a\cdot (x+b)^b\cdot (x+c)^c}{(x+d)^d\cdot (x+e)^5\cdot (x+f)^f}\right)\\[17pt] &= \ a\ln(x+a)+b\ln(x+b)+c\ln(x+c)\\[5pt] & \phantom{=} \ \ \ -d\ln(x+d)-e\ln(x+e)-f\ln(x+f)\end{align*} olur.
Logaritmik türev varsa türev de vardır:
Gerçel sayılar üzerinde $\exp$ ve pozitif gerçel sayılar üzerinde $\ln f$ fonksiyonu türevlenebildiğinden pozitif gerçel sayılar üzerinde, bileşkeleri olan, $$f=\exp(\ln f)$$ fonksiyonu, zincir kuralı ile, türevlenebilir.
Logaritmalı eşitlikte türev:
Eşitliğin iki tarafında türev alırsak, $x\ge 0$ için, $$\frac{f^\prime(x)}{f(x)}=a\cdot \dfrac{1}{x+a}+b\cdot \dfrac{1}{x+b}+c\cdot\dfrac{1}{x+c}-d\cdot \dfrac{1}{x+d}-e\cdot \dfrac{1}{x+e}-f\cdot \dfrac{1}{x+f}$$ eşitliğini elde ederiz.
f fonksiyonunun türevi:
Elde ettiğimiz eşitliği $f(x)$ ile çarparsak, $x\ge 0$ için, \begin{align*}f^\prime(x)&= \ \left(\dfrac{a}{x+a}+ \dfrac{b}{x+b}+\dfrac{c}{x+c}- \dfrac{d}{x+d}- \dfrac{e}{x+e}- \dfrac{f}{x+f}\right)\\[5pt]& \qquad \cdot \frac{(x+a)^a\cdot (x+b)^b\cdot (x+c)^c}{(x+d)^d\cdot (x+e)^e\cdot (x+f)^f}\end{align*} eşitliği sağlanır.
f fonksiyonunun sıfır noktasındaki türevi:
Türevi $0$ noktasında hesaplarsak \begin{align*}f^\prime(0) \ &= \ \left(\dfrac{a}{0+a}+ \dfrac{b}{0+b}+\dfrac{c}{0+c}- \dfrac{d}{0+d}- \dfrac{e}{0+e}- \dfrac{f}{0+f}\right)\\[5pt]& \qquad \cdot \frac{(0+a)^a\cdot (0+b)^b\cdot (0+c)^c}{(0+d)^d\cdot (0+e)^e\cdot (0+f)^f}\\[17pt] &= \ 0\end{align*} eşitliği sağlanır.