Yöntem:
$\infty/\infty$ belirsizliği var. Bu belirsizliği gidermek için l'Hôpital kuralını kullanırsak biraz işler zorlaşabiliyor. (Lütfen deneyip görünüz!) Bu nedenle ifadeyi $\cot$ cinsinden yazarak l'Hôpital kuralını uygulayacağız.
Limiti bulma:
Bu yol ile\begin{align*}\lim\limits_{x\to \frac\pi2}\dfrac{\tan 7x}{\tan 9x} \ &=\ \lim\limits_{x\to \frac\pi2}\dfrac{\cot 9x}{\cot 7x} \\[17pt]&\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to \frac\pi2}\dfrac{-9\cdot\csc^2 9x}{-7\cdot\csc^2 7x}\\[17pt]&=\ \dfrac{-9\cdot\csc^2 \left(9\cdot \dfrac\pi2\right)}{-7\cdot\csc^2 \left(7\cdot \dfrac\pi2\right)}\\[17pt]&= \ \frac 97\end{align*}eşitliğini elde ederiz.
Kalan koşulu kontrol etme:
Her ne kadar verilen örneklerde bu ön koşul sağlansa da paydanın türevinin $$-7\csc^27x$$ $\frac\pi2$'nin bir civarında hiç sıfır değeri vermediğinden emin olmamız gerekli.
Bu türevin $\frac\pi2$ noktasında limiti negatif olan $-7$ değerine eşit. Bu nedenle $\frac\pi2$'nin bir civarında sadece negatif değerler alır. Bu civar üzerinde istenen sağlanır.