$0$ noktasında $\begin{cases} x^2\sin\left(\dfrac1x\right), & x \ne 0 \text{ ise,}\\[7 pt] 0, &x = 0 \text{ ise}\end{cases}$ türevi

Question

$f:\mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonunun kuralı $$f(x)=\begin{cases} x^2\sin\left(\dfrac1x\right), & x \ne 0 \text{ ise,}\\[7 pt] 0, &x = 0 \text{ ise}\end{cases}$$ olmak üzere $f$ fonksiyonunun $0$ noktasındaki türevini bulunuz.

Answer 1

Kullanacağımız türev tanımı:
$f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki türevini $$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)- f(a)}{h}$$ olarak tanımlıyoruz.

---

Türev değerini bulma:
Türevin limit tanımı kullanırsak $f$ fonksiyonunun $0$ noktasındaki türevi \begin{align*}\lim_{h \to 0} \frac{f(0+h)- f(0)}{h}&=\lim_{h \to 0} \frac{h^2\sin\left(\frac1h\right)-0}{h}\\[11pt] &=\lim_{h \to 0}h\sin\left(\frac1h\right)\\[11pt] &\stackrel{*}{=}0\end{align*} değerine eşit olur.

---

Son eşitliği nasıl elde ettiğimizin açıklaması: 
$h\ne 0$ olmak üzere $-1 \le \sin\left(\frac1h\right) \le 1$ ve $-|h| \le h \le |h|$ eşitsizlikleri sağlandığından $$-|h|\le h\sin\left(\frac1h\right) \le |h|$$ eşitsizliği de sağlanır.

Ayrıca $\lim\limits_{h \to 0}(-|h|)=\lim\limits_{h \to 0}|h|=0$ olduğundan, sıkıştırma savı gereği, $$\lim_{h \to 0}h\sin\left(\frac1h\right)=0$$ eşitliğini elde ederiz.