Belirsizlik:
Sürekli fonksiyon olan pay ve paydanın limitleri, sırasıyla, $$\sin(\pi \cdot (-1))=\sin(-\pi)=0\ \ \ \text{ ve } \ \ \ (-1)^3+1=-1+1=0$$ olduğundan elimizde $\left[\frac00\right]$ tarzı bir belirsizlik olur.
l'Hôpital uygulama:
Bir kere l'Hôpital kuralını kullanırsak\begin{align*}\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{\sin\left(\pi x\right)}{x^3+1} \ &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to -1}\frac{\pi\cos\left(\pi x\right)}{3x^2}\\[17pt]&= \ \frac{\pi\cos(\pi\cdot(-1))}{3\cdot (-1)^2}\\[17pt]&= \ -\frac{\pi}{3}\end{align*}eşitliğini elde ederiz.
Kalan koşulu kontrol etme:
Her ne kadar verilen örneklerde bu ön koşul sağlansa da paydanın türevinin $$(x^3+1)^\prime=3x^2$$ $-1$'in bir civarında hiç sıfır değeri vermediğinden emin olmamız gerekli.
Bu da, bir civar örneği olarak $\left(-2,0\right)-\{-1\}$ için, sağlanıyor.