Belirsizlik:
Sürekli fonksiyon olan pay ve paydanın limitleri, sırasıyla, $$\sin 0-0=0-0=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 0^3=0$$ olduğundan elimizde $\left[\frac00\right]$ tarzı bir belirsizlik olur.
l'Hôpital uygulama:
Üç kere l'Hôpital kuralını kullanırsak \begin{align*}\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x -x }{x^3} \ &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{\cos x -1 }{3x^2}\\[17pt]&\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{-\sin x}{6x}\\[17pt]&\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]}\ \lim\limits_{x\to 0}\frac{-\cos x}{6}\\[17pt]&= \ \frac{-\cos 0}6\\[17pt]&= \ -\frac16\end{align*} eşitliğini elde ederiz.
Kalan koşulu kontrol etme:
Her ne kadar verilen örneklerde bu ön koşul sağlansa da paydaların türevinin $$3x^2, \ \ \ 6x, \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 6$$ $0$'ın bir civarında hiç sıfır değeri vermediğinden emin olmamız gerekli.
Bu da, bir civar örneği olarak $\left(-1,1\right)-\{1\}$ için, sağlanıyor.