Belirsizlik:
Sürekli fonksiyon olan pay ve paydanın limitleri, sırasıyla, $$\tan 0-0=0-0=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 0^3=0$$ olduğundan elimizde $\left[\frac00\right]$ tarzı bir belirsizlik olur.
l'Hôpital uygulama:
İki kere l'Hôpital kuralını uygulayalım ve (üçüncü l'Hôpital kullanımı yerine) ifadeyi '$0$ noktasında $x^{-1}\sin x$ limitinin $1$ olduğunu kullanabilecek şekilde' düzenleyelim ve limit değerini bulalım. Bu yol ile\begin{align*}\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x -x }{x^3} \ &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sec^2 x -1 }{3x^2}\\[17pt]&\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{2\cdot \sec x \cdot \left(\sec x \cdot \tan x\right)}{6x}\\[17pt]&= \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{2 \sec^3 x \cdot \sin x}{6x}\\[17pt]&= \ \lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{2 \sec^3 x }{6}\cdot \frac{\sin x}{x}\right)\\[17pt]&= \ \frac{2 \sec^3 0 }{6}\cdot 1\\[17pt]&= \ \frac13\end{align*}eşitliğini elde ederiz.
Kalan koşulu kontrol etme:
Her ne kadar verilen örneklerde bu ön koşul sağlansa da paydaların türevinin $$3x^2, \ \ \ 6x, \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 6$$ $0$'ın bir civarında hiç sıfır değeri vermediğinden emin olmamız gerekli.
Bu da, bir civar örneği olarak $\left(-1,1\right)-\{1\}$ için, sağlanıyor.