Türev tanımı ile: $x^2$ türevi

Question

$a$ bir gerçel sayısı ve $f:\mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonunun kuralı $$f(x)=x^2$$ olmak üzere $f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki türevini bulunuz.

Answer 1

Kullanacağımız türev tanımı:
$f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki türevini $$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)- f(a)}{h}$$ olarak tanımlıyoruz.

Ek araç (toplamın karesinin açılımı):
$a$ ve $b$ gerçel sayıları için $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ eşitliği sağlanır.

Türev değerini bulma:
Türevin limit tanımı kullanırsak $f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki türevi \begin{align*}\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)- f(a)}{h}&=\lim_{h \to 0} \frac{\left(a+h\right)^2-a^2}{h}\\[11pt] &=\lim_{h \to 0}\frac{(a^2+2ah+h^2)-a^2}{h}\\[11pt] &=\lim_{h \to 0}\frac{2ah+h^2}{h}\\[11pt]&=\lim_{h \to 0}\frac{h\cdot(2a+h)}{h}\\[11pt] &=\lim_{h \to 0}(2a+h)\\[11pt] &=2a+0\\[11pt] &=2a\end{align*} değerine eşit olur.

Answer 2

Kullanacağımız türev tanımı:
$f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki türevini $$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)- f(a)}{h}$$ olarak tanımlıyoruz.

Ek araç (iki kare farkı):
$a$ ve $b$ gerçel sayıları için $$a^2-b^2=(a+b)\cdot (a-b)$$ eşitliği sağlanır.

Türev değerini bulma:
Türevin limit tanımı kullanırsak $f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki türevi \begin{align*}\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)- f(a)}{h}&=\lim_{h \to 0} \frac{\left(a+h\right)^2-a^2}{h}\\[11pt] &=\lim_{h \to 0}\frac{((a+h)+a)\cdot ((a+h)-a)}{h}\\[11pt] &=\lim_{h \to 0}\frac{(2a+h)\cdot h}{h}\\[11pt] &=\lim_{h \to 0}(2a+h)\\[11pt] &=2a+0\\[11pt] &=2a\end{align*} değerine eşit olur.

Answer 3

Kullanacağımız türev tanımı:
$f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki türevini $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)- f(a)}{x-a}$$ olarak tanımlıyoruz.

Ek araç (iki kare farkı):
$a$ ve $b$ gerçel sayıları için $$a^2-b^2=(a+b)\cdot (a-b)$$ eşitliği sağlanır.

Türev değerini bulma:
Türevin tanımı kullanırsak $f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki türevi \begin{align*}\lim_{x \to a} \frac{f(x)- f(a)}{x-a}&=\lim_{x \to a} \frac{x^2-a^2}{x-a}\\[11pt] &=\lim_{x \to a}\frac{(x-a)\cdot(x+a)}{x-a}\\[11pt] &=\lim_{x \to a}(x+a)\\[11pt] &= a+a\\[11pt] &=2a\end{align*} değerine eşit olur.