Belirsizlik:
Sürekli fonksiyon olan pay ve paydanın limitleri, sırasıyla, $$\arctan(\sin(2\cdot 0))=\arctan (\sin 0)=\arctan 0=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 3\cdot 0=0$$ olduğundan elimizde $\left[\frac00\right]$ tarzı bir belirsizlik olur.
l'Hôpital uygulama:
Bir kere l'Hôpital kuralını kullanırsak\begin{align*}\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\arctan \sin 2x}{3x} \ &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{2\cdot \cos 2x\cdot \dfrac1{1+\sin^22x}}{3}\\[17pt]&= \ \frac{2\cdot \cos (2\cdot 0)\cdot \dfrac1{1+\sin^2(2\cdot 0)}}{3}\\[17pt]&= \ \frac23\end{align*}eşitliğini elde ederiz.
Kalan koşulu kontrol etme:
Her ne kadar verilen örneklerde bu ön koşul sağlansa da paydanın türevinin $$(3x)^\prime=3$$ $0$'ın bir civarında hiç sıfır değeri vermediğinden emin olmamız gerekli.
Bu da, bir civar örneği olarak $\left(-1,1\right)-\{0\}$ için, sağlanıyor.