Belirsizlik:
Sürekli fonksiyon olan pay ve paydanın limitleri, sırasıyla, $$\sqrt{1+\arctan 0}-\sqrt{1-\arctan 0}=\sqrt{1+0}-\sqrt{1-0}=1-1=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ \sin 0=0$$ olduğundan elimizde $\left[\frac00\right]$ tarzı bir belirsizlik olur.
Zincir kuralına uygun yazma:
$\sqrt{1+\tan x}$ ve $\sqrt{1-\tan x}$ fonksiyonlarını zincir kuralına uygun olacak şekilde $$(x^{1/2})\circ (1+\tan x) \ \ \ \text { ve } \ \ \ (x^{1/2})\circ (1-\tan x)$$ olarak yazabiliriz.
l'Hôpital uygulama:
Bir kere l'Hôpital kuralını kullanırsak\begin{align*}\lim\limits_{x\to 0}\dfrac {\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1-\tan x}}{\sin x} \ &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{\sec^2x}{2\sqrt{1+\tan x}}-\dfrac{-\sec^2x}{2\sqrt{1-\tan x}}}{\cos x} \\[17pt]&= \ \dfrac{\dfrac{\sec^2 0}{2\sqrt{1+\tan 0}}-\dfrac{-\sec^20}{2\sqrt{1-\tan0}}}{\cos 0} \\[17pt]&= \ 1\end{align*}eşitliğini elde ederiz.
Kalan koşulu kontrol etme:
Her ne kadar verilen örneklerde bu ön koşul sağlansa da paydanın türevinin $$(\sin x)^\prime=\cos x$$ $0$'ın bir civarında hiç sıfır değeri vermediğinden emin olmamız gerekli.
Bu da, bir civar örneği olarak $\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)-\{0\}$ için, sağlanıyor.