Belirsizlik:
Sürekli fonksiyon olan pay ve paydanın limitleri, sırasıyla, $$e^{0}-1-0=1-1-0=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 1+0^2-\cos( 0)=1+0-1=0$$ olduğundan elimizde $\left[\frac00\right]$ tarzı bir belirsizlik olur.
l'Hôpital uygulama:
İki kere l'Hôpital kuralını kullanırsak\begin{align*}\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-1-x }{1+x^2-\cos x } \ &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-1 }{2x-\sin x }\\[17pt]&\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x}{2+\cos x} \\[17pt]&= \ \frac{e^0}{2+\cos 0}\\[17pt]&= \frac13\end{align*}eşitliğini elde ederiz.
Kalan koşulu kontrol etme:
Her ne kadar verilen örneklerde bu ön koşul sağlansa da paydaların türevinin $$2x+\sin x\ \ \ \text{ ve } \ \ \ 2+\cos x$$ $0$'ın bir civarında hiç sıfır değeri vermediğinden emin olmamız gerekli.
$2+\cos x$ her gerçel sayı için pozitif olduğundan tüm civarlarda sıfır olmayan değerler alır. Ayrıca bu bilgi $2x+\sin x$ fonksiyonunun artan olduğunu söyler ve bu fonksiyon sıfır noktası hariç sıfır değerini alamaz.