Belirsizlik:
Sürekli fonksiyon olan pay ve paydanın limitleri, sırasıyla, $$4^0+2^0-2=1+1-2=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 6^0-1=1-1=0$$ olduğundan elimizde $\left[\frac00\right]$ tarzı bir belirsizlik olur.
l'Hôpital uygulama:
Bir kere l'Hôpital kuralını kullanırsak\begin{align*}\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{4^x+2^{x}-2}{6^x-1} \ &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln 4\cdot 4^{x}+\ln 2\cdot 2^{x}}{\ln 6 \cdot6^x}\\[17pt]&= \ \frac{\ln 4\cdot 4^{0}+\ln 2\cdot 2^{0}}{\ln 6 \cdot6^0}\\[17pt]&= \ \frac{\ln 4+\ln 2}{\ln 6}\\[17pt]&= \ \frac{\ln(4\cdot 2)}{\ln 6}\\[17pt]&= \ \frac{\ln 8}{\ln 6}\end{align*}eşitliğini elde ederiz.
Kalan koşulu kontrol etme:
Her ne kadar verilen örneklerde bu ön koşul sağlansa da paydanın türevinin $$\ln 6 \cdot6^x$$ $0$'ın bir civarında hiç sıfır değeri vermediğinden emin olmamız gerekli.
Bu da, bir civar örneği olarak $\left(-1,1\right)-\{0\}$ için, sağlanıyor.