Belirsizlik:
Sürekli fonksiyon olan pay ve paydanın limitleri, sırasıyla, $$\lim\limits_{x\to \infty}\ln (1+2^x+3^x)=\infty \ \ \ \text{ ve } \ \ \ \lim\limits_{x\to \infty} x=\infty$$ olduğundan elimizde $\left[\frac\infty\infty\right]$ tarzı bir belirsizliği olur.
l'Hôpital uygulama:
Bir kere l'Hôpital kuralı uygulayıp $3^x$ sadeleştirmesi yaparak sonuca ulaşabiliriz. Bu yol ile \begin{align*}\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\ln (1+2^x+3^x)}{x}\ &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac\infty\infty\right]} \ \lim\limits_{x\to \infty}\frac{(\ln 2\cdot 2^x+\ln 3\cdot 3^x)/(1+2^x+3^x)}{1}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{x\to \infty}\frac{\ln 2\cdot 2^x+\ln 3\cdot 3^x}{1+2^x+3^x}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{x\to \infty}\frac{\ln 2 \cdot (2/3)^x+\ln 3}{(1/3)^x+(2/3)^x+1}\\[15pt] &= \dfrac{\ln 2\cdot 0 +\ln 3}{0+0+1}\\[15pt] &= \ln 3\end{align*} eşitliğini elde ederiz.
Kalan koşulu kontrol etme:
Her ne kadar verilen örneklerde bu ön koşul sağlansa da paydanın türevi $$ (x)^\prime=1$$ sıfırın bir civarında hiç sıfır değeri vermediğinden emin olmamız gerekli.
Bu da, bir civar örneği olarak $\left(0,\infty\right)$ için, sağlanıyor.