Belirsizlik:
Sürekli fonksiyon olan pay ve paydanın limitleri, sırasıyla, $$\lim\limits_{x\to \infty} (2^{\sqrt x}-1)=\infty \ \ \ \text{ ve } \ \ \ \lim\limits_{x\to \infty} (3^{\sqrt x}-1)=\infty$$ olduğundan elimizde $\left[\frac\infty\infty\right]$ tarzı bir belirsizliği olur.
l'Hôpital uygulama:
Bir kere l'Hôpital kuralı uygulayıp biraz düzenleme yaparak sonuca ulaşabiliriz. Bu yol ile \begin{align*}\lim\limits_{x\to \infty}\frac{2^{\sqrt x}-1}{3^{\sqrt x}-1}\ &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac\infty\infty\right]} \ \lim\limits_{x\to \infty}\frac{\dfrac1{2\sqrt x}\cdot \left( \ln 2 \cdot 2^{\sqrt x}\right)}{\dfrac1{2\sqrt x}\cdot \left( \ln 3 \cdot 3^{\sqrt x}\right)}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{x\to \infty}\frac{ \ln 2 \cdot 2^{\sqrt x}}{ \ln 3 \cdot 3^{\sqrt x}}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{x\to \infty}\frac{\ln 2}{\ln 3}(2/3)^{\sqrt x}\\[15pt] &= \ \frac{\ln 2}{\ln 3}\cdot 0\\[15pt] &= \ 0\end{align*} eşitliğini elde ederiz.
Kalan koşulu kontrol etme:
Her ne kadar verilen örneklerde bu ön koşul sağlansa da paydanın türevi $$\dfrac1{2\sqrt x}\cdot \ln 3 \cdot 3^{\sqrt x}$$ sıfırın bir civarında hiç sıfır değeri vermediğinden emin olmamız gerekli.
Bu da, bir civar örneği olarak $\left(0,\infty\right)$ için, sağlanıyor.