Soruyu basitleştirme:
$9999$ kere l'Hôpital kullanmak yerine $$\lim_{x\to \infty}\dfrac{x^{9999}}{e^{1234x}}=\lim_{x\to \infty}\left(\dfrac{x}{e^{\frac{1234}{9999}x}}\right)^{9999}$$ olarak yazalım ve istenen limiti bulmak için kuvvet içindeki fonksiyon ile ilgilenelim.
İç limiti bulma:
$[\infty/\infty]$ belirsizliğimiz var. l'Hôpital uygularsak $$\lim_{x\to \infty}\dfrac{x}{e^{\frac{1234}{9999}x}}\ \ \mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac\infty\infty\right]}\ \ \lim_{x\to \infty}\dfrac{1}{\frac{1234}{9999}e^{\frac{1234}{9999}x}}\ \ =\ \ 0$$ eşitliği sağlanır.
İstenen limiti hesaplama:
Bu bilgi ile, kuvvet fonksiyonları tanımlı olduğu yerlerde sürekli olduğundan, $$\lim_{x\to \infty}\dfrac{x^{9999}}{e^{1234x}}\ \ =\ \ \lim_{x\to \infty}\left(\dfrac{x}{e^{\frac{1234}{9999}x}}\right)^{9999}\ \ =\ \ \left(\lim_{x\to \infty}\dfrac{x}{e^{\frac{1234}{9999}x}}\right)^{9999}\ \ = \ \ 0^{9999} \ \ = \ \ 0$$ eşitliğini elde ederiz.
Kalan koşulu kontrol etme:
Her ne kadar verilen l'Hôpital sorularında bu ön koşul sağlansa da paydanın türevi $$\frac{1234}{9999}e^{\frac{1234}{9999}x}$$ sıfırın bir civarında hiç sıfır değeri vermediğinden emin olmamız gerekli.
Bu da, bir civar örneği olarak $\left(-1,1\right)-\{0\}$ için, sağlanıyor.